Geometria. Geometria euclidiana

O termo Geometria tem origem nas palavras gregas geo (terra) e metrein (medir).

Pensa-se que as origens deste ramo da Matemática estarão na medição de terrenos levada a cabo nas civilizações antigas do Médio Oriente, babilónia e a egípcia.

Pode-se dizer que a Geometria é a ciência que estuda as propriedades de certas figuras quanto à forma, extensão e posições relativas.

A Geometria que consta dos currículos escolares do ensino não superior, e que se aplica normalmente no nosso dia-a-dia, tem por suporte o trabalho realizado há mais de vinte séculos por Euclides de Alexandria e está dividida em duas partes:

• Geometria plana é a parte da geometria que estuda as figuras planas.
• Geometria no espaço é a parte da Geometria que estuda as figuras que não são planas, ou seja, aquelas figuras para as quais não existe um plano que contenha todos os seus pontos.

 

Ao longo dos séculos muitos foram os matemáticos que se debruçaram sobre esta temática. Este trabalho, para além de aprimorar o trabalho desenvolvido por Euclides, deu também origem às chamadas Geometrias Não Euclidianas.

A seguir apresenta-se, de um forma muito resumida, a evolução da Geometria ao longo dos séculos.

 

 

Breve nota histórica

Tendo começado por ser uma ciência empírica, nas civilizações do Médio Oriente, os gregos estabeleceram-na como uma teoria dedutiva. Nas palavras de Franco de Oliveira (1995: 21), «a intuição, a descoberta empírica e a experimentação têm o seu lugar, mas é o raciocínio dedutivo, a demonstração ou dedução a partir de hipóteses conhecidas ou admitidas que estabelece a veracidade das proposições geométricas».

O primeiro geómetra que se conhece é Tales de Mileto (c. 624-547 a. C), cujo trabalho foi depois continuado pelos pitagóricos, grupo fundado por Pitágoras (c. 572-497 a. C) em Crotona, cidade grega no Sul de Itália.

Apesar de não existirem documentos escritos pelos pitagóricos, o essencial do seu trabalho, a nível da Geometria, consta dos Elementos de Hipócrates de Quios, escrita por volta do ano quatrocentos antes da nossa era. Esta obra também se perdeu, mas o fundamental foi coligido nos Elementos de Euclides um século mais tarde (Oliveira, ibid:22).

 

Os Elementos de Euclides

Euclides de Alexandria (c. 323-285 a. C) compilou em treze volumes ou livros, tudo o que se conhecia na altura sobre a Geometria. Esses livros estão divididos da seguinte forma (Sá, 2000: 251-252):

• livros planimétricos que correspondem aos seis primeiros, que se debruçam sobre a geometria plana (segundo Sá (2000: 251), esta designação não é adequada ao quinto livro por nele ser estudada a teoria das proporções que também pode ser aplicada à geometria tridimensional);
• livros aritméticos constituem os três seguintes e recolhem contributos de matemáticos do século IV a. C;
• o décimo, sem nome especial, estuda vários tipos de grandezas irracionais;
• os três últimos são denominados por livros estereométricos, por versarem sobre figuras da geometria tridimensional.

Sabendo-se que os conteúdos expostos nos Elementos não são, na sua grande maioria, da autoria de Euclides, a importância que este matemático teve para a História da Matemática e para a Humanidade deve-se à forma como os escreveu. Porque, no que respeita à Geometria, Euclides organizou «as matérias de um modo sistemático a partir de princípios e definições, procedendo ao desenvolvimento por via dedutiva» (Oliveira, op.cit: 24). E para além de inaugurar o chamado método axiomático, este conjunto de livros constituirá, durante mais de vinte séculos, o "manual" de aprendizagem da Geometria e de estruturação de conhecimentos, no mundo ocidental.

 

O Postulado das Paralelas e a emergência das geometrias não euclidianas

Sendo uma referência fundamental para a Matemática, o trabalho de Euclides não foi isento de escrutínio. Em especial, o famoso quinto postulado, o das paralelas, que diz que por um ponto exterior a uma recta passa uma e uma só recta paralela à dada. Sendo postulado, deveria conter uma afirmação evidente e que não levantasse dúvidas. Mas tal não acontecia.

Mesmo aos olhos de Euclides, o postulado das paralelas não era evidente, pois o tentou provar. O mesmo tentaram muitos dos que se seguiram. Mas só no século XVII é que o abade jesuíta Giovanni Saccheri (1667-1733) apresentou uma abordagem inovadora: tentou obter uma contradição admitindo a negação do postulado. Não o conseguiu, pelo contrário descobriu as geometrias não euclidianas, apesar de não se ter apercebido disso.

Carl Friedrich Gauss (1777-1855), desconhecendo o trabalho de Saccheri, seguiu o mesmo percurso. Mas considerou os resultados obtidos tão perturbadores que nada publicou.

Mas só no século XIX é que alguns matemáticos analisaram a fundo a possibilidade de desenvolverem novas geometrias substituindo o postulado das paralelas pela sua negação. Conseguiram provar que se trata efectivamente de um axioma, necessário e independente dos outros. Trabalhando de forma independente, o húngaro Janos Bolyai (1802 - 1860), o russo Nicolai Lobachewski (1792 - 1856) e o alemão Bernhard Riemann (1826-1866), desenvolveram outras geometrias para além da euclidiana.

Desde então consideram-se as seguintes geometrias:

• A geometria euclidiana, também chamada parabólica;
• A geometria de Lobachevski (similar à desenvolvida por Bolyai), também chamada hiperbólica;
• A geometria de Riemann, também chamada elíptica ou esférica.

 

As geometrias não euclidianas foram concebidas, alterando em primeiro lugar o Postulados das Paralelas. Uma identificação muito sucinta dessas alterações é:

• Por um ponto exterior a uma recta, pode-se traçar uma infinidade de paralelas a esta recta (Lobachevski e Bolyai);
• Por um ponto exterior a uma recta não se pode traçar nenhuma paralela a esta recta (geometria de Riemann).

A influência que estas novas geometrias tiveram não se restringiu à Matemática, por exemplo, foi usando-as que Albert Einstein desenvolveu a Teoria da Relatividade.

Para além dos que se dedicaram ao desenvolvimento de novas geometrias, outros houve que se dedicaram à revisão dos fundamentos da geometria euclidiana, quer Pasch (1843-1930), quer Hilbert (1862-1943); outros ainda desenvolveram novas concepções sobre a classificação das geometrias, como Félix Klein (1849 - 1925).

No entanto, a obra de Euclides continua a ser uma das grandes realizações da mente humana. Como dizem Borsuk e Szmielew (Foundations of Geometry, 1960, citados em Oliveira, 1995: 27):

"Se o valor de um trabalho científico pode ser medido pelo tempo durante o qual ele mantém a sua importância, então os Elementos de Euclides são a obra científica mais válida de todos os tempos."

 

 

Bibliografia

Oliveira, A. J. Franco de (1995). Geometria Euclidiana. Lisboa: Universidade Aberta.

Sá, C. (2000). A Matemática na Grécia Antiga. In Estrada, F.; Sá, C.; Queiró, J.; Silva, M. C; Costa, M. J. História da Matemática. Lisboa: Universidade Aberta.

Struik, D. J. (1989). História Concisa das Matemáticas. Lisboa: Gradiva.